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    1、試題題目:(1)討論函數f(x)=lnxx2(x∈[e-1,e])的圖象與直線y=k的交點個數.(..

    發布人:繁體字網(www.yuanpaijj.com) 發布時間:2015-11-26 07:30:00

    試題原文

    (1)討論函數f(x)=
    lnx
    x2
    (x∈[e-1,e])的圖象與直線y=k的交點個數.
    (2)求證:對任意的n∈N*,不等式
    ln1
    14
    +
    ln2
    24
    +
    ln3
    34
    +…+
    lnn
    n4
    1
    2e
    總成立.

      試題來源:不詳   試題題型:解答題   試題難度:中檔   適用學段:高中   考察重點:函數、映射的概念



    2、試題答案:該試題的參考答案和解析內容如下:
    (1)由題意得:f′(x)=
    1-2lnx
    x3
    .令f'(x)=0,得x=
    e

    x∈(e-1,
    e
    )
    時,f'(x)>0,故函數f(x)在[e-1,
    e
    ]
    上遞增;
    x∈(
    e
    ,e)
    時,f'(x)<0,故函數f(x)在[
    e
    ,e]
    上遞減.
    又因為f(e-1)=-e2,f(
    e
    )=
    1
    2e
    ,f(e)=
    1
    e2
    ,所以當k>
    1
    2e
    或k<-e2時,沒有交點;
    k=
    1
    2e
    -e2≤k<
    1
    e2
    時,有唯一的交點;當
    1
    e2
    ≤k<
    1
    2e
    時,有兩個交點.
    (2)證明:由(1)知函數f(x)在(0,
    e
    )
    上遞增,在(
    e
    ,+∞)
    上遞減,
    故f(x)在(0,+∞)上的最大值為
    1
    2e

    即對x∈(0,+∞)均有
    lnx
    x2
    1
    2e
    ,故
    lnx
    x4
    =
    lnx
    x2
    ?
    1
    x2
    1
    2e
    ?
    1
    x2

    當n=1時,結論顯然成立;當n≥2時,有
    ln1
    14
    +
    ln2
    24
    +
    ln3
    34
    +…+
    lnn
    n4
      
    =0+
    ln2
    22
    ?
    1
    22
    +
    ln3
    32
    ?
    1
    32
    +…+
    lnn
    n2
    ?
    1
    n2
    1
    2e
    (
    1
    22
    +
    1
    32
    +…+
    1
    n2
    )
     
    1
    2e
    (
    1
    1×2
    +
    1
    2×3
    +…+
    1
    (n-1)?n
    )
    =
    1
    2e
    (
    1
    1
    -
    1
    2
    +
    1
    2
    -
    1
    3
    +…+
    1
    (n-1)
    -
    1
    n
    )
     
    =
    1
    2e
    (
    1
    1
    -
    1
    n
    )<
    1
    2e

    綜上可知,對任意的n∈N*,不等式
    ln1
    14
    +
    ln2
    24
    +
    ln3
    34
    +…+
    lnn
    n4
    1
    2e
    成立.
    3、擴展分析:該試題重點查考的考點詳細輸入如下:

        經過對同學們試題原文答題和答案批改分析后,可以看出該題目“(1)討論函數f(x)=lnxx2(x∈[e-1,e])的圖象與直線y=k的交點個數.(..”的主要目的是檢查您對于考點“高中函數、映射的概念”相關知識的理解。有關該知識點的概要說明可查看:“高中函數、映射的概念”。


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